KNOWLEDGE POINT · 知識點 08

三角形三心

外心是三邊中垂線的交點，到三頂點等距；直角三角形的外心在斜邊中點。內心是三內角平分線的交點，到三邊等距，且是內切圓圓心；三角形面積等於周長乘內切圓半徑再除以 2，直角三角形內切圓半徑可由兩股和減斜邊後除以 2 求得。重心是三中線交點，為三角形的平衡點；它將中線分成頂點側與底邊中點側 2:1，三條中線也將三角形分成六個等面積小三角形。

S-9-8S-9-9S-9-10s-IV-11
三角形三心概念示意圖
LEARNING CONTENT

學習內容

三個小圖分別標出三角形的外心為垂直平分線交點、內心為角平分線交點、重心為中線交點及 2 比 1 分點。
外心看垂直平分線，內心看角平分線，重心看中線。
01

外心

O 為外心，與三角形三個頂點的距離相等。

外心
OA=OB=OCOA=OB=OC

O 為外心，與三角形三個頂點的距離相等。

直角三角形外心
O=斜邊中點O=\text{斜邊中點}

直角三角形外心位於斜邊中點；外接圓半徑計算限於等腰或直角三角形。

02

內心與面積

內切圓半徑為 r、三角形周長為 P 時，面積 K 等於半周長乘 r。

內心與面積
K=12PrK=\frac12Pr

內切圓半徑為 r、三角形周長為 P 時，面積 K 等於半周長乘 r。

直角三角形內切圓半徑
r=a+b−c2r=\frac{a+b-c}{2}

a、b 為兩股長，c 為斜邊長。內切圓半徑評量限於直角、等腰或正三角形。

03

重心分中線

若 G 是重心、D 是 BC 中點，則中線 AD 上 AG:GD=2:1。三條中線形成六個等面積三角形。

重心分中線
AG:GD=2:1AG:GD=2:1

若 G 是重心、D 是 BC 中點，則中線 AD 上 AG:GD=2:1。三條中線形成六個等面積三角形。

三條中線的面積分割
[AGB]=[BGC]=[CGA]=13[ABC][AGB]=[BGC]=[CGA]=\frac13[ABC]

重心連至三頂點，將原三角形分成三個等面積三角形；三條中線共同形成六個等面積小三角形。

練習方向

選擇一個方向，開始逐題練習。