KNOWLEDGE POINT · 知識點 04

垂直與距離

兩條直線相交成直角時互相垂直。線段的中垂線通過線段中點且垂直於線段；在線段中垂線上的點，到線段兩端點的距離相等。點到直線的距離是從該點向直線作垂線所得的線段長。

S-7-3s-IV-3
垂直與距離概念示意圖
LEARNING CONTENT

學習內容

01

垂直與垂足

兩條直線相交形成直角時互相垂直。由直線外一點向直線作垂線，交點稱為垂足；要判斷垂直，需確認交角為直角。

點 P 向直線 ℓ 作垂線，交點 H 是垂足，並以直角記號標出垂直。
垂線與直線 ℓ 的交點 H 稱為垂足。
垂直關係
ℓ⊥m  ⟺  交角為 90∘\ell\perp m\iff\text{交角為 }90^\circ

兩直線相交形成直角時稱為互相垂直。

02

線段的中垂線

線段的中垂線通過線段中點，並且垂直於該線段。中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，可用來判斷或推理點的位置。

直線 m 垂直平分線段 AB 於 M；中垂線上的點 P 到 A、B 等距。
中垂線通過中點 M 並垂直於 AB，且 PA=PB。
中垂線上的等距性質
P 在線段 AB‾ 的中垂線上⇒PA=PBP\text{ 在線段 }\overline{AB}\text{ 的中垂線上}\Rightarrow PA=PB

中垂線上的點到線段兩端點等距。

03

點到直線的距離

點到直線的距離是從該點向直線作垂線時，垂線段的長。從一點到直線的所有線段中，垂線段最短。

點 P 到直線 ℓ 的垂線段 PH 與斜線段 PQ 比較，PH 為最短距離。
點 P 到直線 ℓ 的距離，就是垂線段 PH 的長。
點到直線距離
d(P,ℓ)=PH(PH⊥ℓ, H∈ℓ)d(P,\ell)=PH\quad(PH\perp\ell,\ H\in\ell)

H 是垂足，垂線段 PH 的長就是點 P 到直線 ℓ 的距離。

練習方向

選擇一個方向，開始逐題練習。