KNOWLEDGE POINT · 知識點 04

二元一次聯立方程式

二元一次聯立方程式由兩個含有相同未知數的二元一次方程式組成，要求同一組數值同時滿足兩個方程式。可用代入消去法或加減消去法求解，也可從兩條直線的交點理解其解。

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聯立方程式由兩個含有相同未知數的方程式組成；解必須同時滿足兩個等式。

例題：找共同解

\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\qquad(x,y)=(4,3)

4+3=7 且 4−3=1，兩式都成立，所以 (4,3) 是共同解。

先由其中一個方程式整理出 x 或 y，再把這個表示式代入另一個方程式，將兩個未知數化成一個未知數來求解。

例題：代入消去

\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\qquad y=7-x\Rightarrow x-(7-x)=1\Rightarrow x=4\Rightarrow y=3

由第一式整理出 y，再代入第二式，依序求得 x=4、y=3。

適當倍乘其中一個或兩個方程式，讓某個未知數的係數相同或互為相反數，再將方程式相加或相減以消去該未知數。

例題：相加消去

\begin{aligned}x+y&=7\\x-y&=1\\2x&=8\end{aligned}\Rightarrow x=4,\ y=3

將兩式相加，y 與 −y 抵消；求出 x 後代回任一式，得到 y=3。

依題目中的兩種未知量設未知數，將兩個數量關係分別列成方程式，再選擇合適的方法求出共同解並回到情境解讀。

例題：水果價格

\begin{cases}2x+y=14\\x+y=9\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(5,4)

x、y 分別代表一顆蘋果和一顆梨子的價格（元）。解得蘋果 5 元、梨子 4 元，代回兩個數量關係都成立。

將求得的數對代回兩個方程式確認都成立。若以兩條直線表示兩個方程式，共同解對應到兩線的交點。

例題：共同解與交點

x+y=7\Rightarrow y=7-x\qquad x-y=1\Rightarrow y=x-1\qquad\text{交點 }(4,3)

把兩個方程式看成直線，交點 (4,3) 同時在兩條直線上，因此是聯立方程式的共同解。

在直角坐標平面上描繪 ax+by=c 的解所形成的直線；y=c 表示水平線，x=c 表示鉛垂線。聯立方程式的唯一解對應兩條直線的交點。

水平線與鉛垂線

y=c\;:\;\text{水平線}\qquad x=c\;:\;\text{鉛垂線}

y 固定時，點沿水平方向排列；x 固定時，點沿垂直方向排列。

聯立解與交點

\text{交點 }(a,b)\iff(x,y)=(a,b)\text{ 同時滿足兩式}

共同解在坐標平面上就是兩條直線的交點。

選擇一個方向，開始逐題練習。